XІ Всеукраїнська комплексна олімпіада з математики, фізики та інформатики
"Турнір чемпіонів"
2004 р.
Завдання з математики
-
Знайти всі пари натуральних чисел (m,n) такі, що
(m2 - n)(m + n2) = (m + n)3 -
Два різні кола W1 і W2, з центрами в точках O1 і O2 відповідно, перетинаються в точках A і B . Пряма O1B перетинає W2 в точці F (F <> B), а пряма O2B перетинає W1 в точці E (E <> B). Через точку B провели пряму, паралельно до EF, яка перетинає W1 в точці M (M <> B), а W2 - в точці N (N <> B). Довести, що прямі ME ,AB і NF перетинаються в одній точці.
-
Нехай R+ - множина додатних дійсних чисел. Знайти всі функції f: R+->R+ такі, що виконується співвідношення
(f (x))2 >= f (x + y)(f (x) + y)
для всіх x,y є R+. -
В кожній вершині трикутної піраміди написано число. На кожному ребрі записана сума чисел, що стоять на його кінцях. Відомо, що сума чисел на ребрах рівна 3 і сума їх квадратів дорівнює 3. Які значення може приймати сума кубів чисел на ребрах?
-
Шахова фігура " кулеметник " б'є в якомусь одному напрямку по вертикалі або горизонталі ( наприклад, по горизонталі вліво) на довільну кількість клітинок. Яку найбільшу кількість таких, що не б'ють один одного, кулеметників можна поставити на шахівниці 20х20?