Задача «Ленивый пловец»

X І V Всеукраїнська комплексна олімпіада з математики, фізики
та інформатики


"Турнір чемпіонів"

200 7 р.

 

Завдання з математики

для Турніру чемпіонів – 2007

 

1 . Розв’яжіть рівняння

.

2. Нехай і – прості числа. Доведіть, що число є спільним дільником таких чисел та .

3. Дано трикутник . Точка рухається по стороні , а точка рухається по продовженню сторони за точку так, що . Знайдіть геометричне місце центрів кіл, описаних навколо трикутників .

4. Нехай , і – довільні дійсні числа. Доведіть нерівність:

.

5. Многогранник має вигляд, зображений на малюнку. Відомо, що – паралелограм, площини трикутників і взаємно перпендикулярні, а також взаємно перпендикулярними є площини трикутників і . Кожну грань цього многогранникапофарбували в чорний або білий колір так, що грані, які мають спільне ребропофарбовані в різні кольори. Доведіть, що сума квадратів площ чорних граней дорівнює сумі квадратів площ білих граней.

 

Математика – юн іорська ліга

 

1.    Відомо, що число p є коренем рівняння . Знайти значення виразу

2.    Знайти всі натуральні числа, які можна подати у вигляді , де m та n – натуральні числа.

 

3. Нехай додатні числа a , b , c та дійсні числа x , y , z такі, що

Доведіть нерівність

 

4. За допомогою циркуля та лінійки відновити трикутник АВС за трьома точками: D , E , M , де точки D та E – середини висот AH та CP трикутника АВС, а точка М- середина сторони АС.

 

5 . Після закінчення конкурсу бальних танців, в якому брали участь 7 хлопчиків та 8 дівчаток, кожен ( кожна ) назвав ( назвала ) кількість своїх партнерш ( партнерів ) : 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6, 6,6,6,6. Чи не помилився хто-небудь із них?

 

 

 

 

 

© LIKT 1998-2018