- У геолога есть чашечные весы без гирь и 8 камней. Он хочет узнать, верно ли, что любые два из этих камней тяжелее любого из этих 8 камней? Может ли он это узнать за 13 взвешиваний?
- Каково наибольшее число подряд идущих членов последовательности xn= n4 + 1998, НОД которых больше 1?
- В каждой клетке шахматной доски записано положительное число (всего записано 64 числа, среди которых могут быть и разные).. Сумма всех этих чисел равна 2000. Сумма всех чисел, записанных на двух диагоналях равна 200. Числа, расположенные симметрично относительно этих двух диагоналей равны. Докажите, что сумма чисел в каждой строке доски меньше 550.
- Пусть G - точка пересечения медиан в треугольнике ABC. Обозначим A1,B1,C1 -вторые точки пересечения прямых AG,BG,CG с окружностью, описанной вокруг треугольника. Докажите, что AG+BG+CG<=A1G+B1G+C1G. (Ясiнський В.А.)
- По трем различным прямолинейным дорогам равномерно движутся три автомобиля (каждый по своей дороге). Известно, что в некоторые три момента времени автомобили находились на одной прямой. Докажите, что тогда эти автомобили будут находиться на одной прямой в любой момент времени (для каждого момента времени - своя прямая). (Ясiнський В.А.)
Задачи по математике (юниорская лига)
- Найдите несколько трехзначных чисел, квадрат которых заканчивается на 21. Сколько всего существует таких чисел?
- Можно ли разрезать прямоугольник на 9 прямоугольников так, чтобы никакие два соседних прямоугольника не образовывали бы вместе прямоугольник? На рисунке показано, как можно так разрезать прямоугольник на пять частей.
- Иван Петрович родился в девятнадцатом веке. В 1901 году его возраст оказался равен сумме цифр его года рождения. В каком году родился Иван Петрович?
- Три квадратных плитки шоколада размером 3Х3, 4Х4 и 5Х5 нужно разделить поровну на пятерых. Какое наименьшее число разломов для этого потребуется? (Шоколад можно ломать только по линиям; за один раз разрешается ломать только один кусок).
|
