`Всеукраїнський центр проведення олімпіад в мережі Інтернет
  1. МАТЕМАТИКА
29 апреля - 4 мая
2002 года

Міністерство освіти і науки України
Управлління освіти Вінницької облдержадміністрації
Вінницький обласний інститут післядипломної освіти педагогічних працівників
Управління освіти Вінницької міської ради
Вінницький регіональний бізнес-центр
Вінницьке обласне відділення фонду НАН України "Інтелект України"
Фізико-математична гімназія №17 м.Вінниці

IX  міжрегіональна олімпіада з математики, фізики та інформатики

"Турнір чемпіонів"

Завдання з математики

 

1. Послідовність цілих чисел a1 , a2 , a3 , …  така, що a1=1,a2=2 і для кожного натурального n>=1

Чи існує таке натуральне число m , що am=2000 ?

2. Точка P  знаходиться зовні кола w  з центром O . Прямі l1  та l2  проходять через точку P , причому l1  дотикається кола w  в точці A , а l2  перетинає w  в точках B  і C . Дотичні до кола w в точках B  і C перетинаються в точці Q . Нехай K - точка перетину прямих BC і AQ . Доведіть, що          .

3. Знайти всі функції   такі, що

     1)  | f(x)| >=1 для всіх дійсних X ;

     для всіх дійсних X та Y .

4. Нехай  і  - натуральні числа, які задовольняють нерівність . Доведіть, що тоді виконується й така нерівність .

5. На площині проводять три набори паралельних прямих, по десять прямих в кожному наборі. На яку найбільшу кількість трикутників вони розріжуть дану площину?

На виконання роботи відведено 4 год.

Використання калькуляторів та записничків забороняється.

 

© LIKT 1998-2024