`Всеукраїнський центр проведення олімпіад в мережі Інтернет
  1. МАТЕМАТИКА

     

XVII Всеукраїнська комплексна олімпіада "Турнір чемпіонів " Завдання з математики

 

 

Математика

1.Нехай – таке натуральне число, що – ціле число. Доведіть, що і

 

також ціле число.

 

2. Дано трикутник . Пряма, яка проходить через вершину , симетрична медіані  відносно прямої, що містить бісектрису кута , перетинає коло, описане навколо трикутника , в точках і . Нехай – середина відрізка . Доведіть, що .

 

3. Перша абетка, яку вивчають учні початківці Вінницької фізико-математичної гімназії №17, містить лише три літери . Обчисліть кількість слів, кожне з яких можна записати літерами цієї абетки і кожне з яких містить парну кількість літер .

 

4. Доведіть, що для будь-яких дійсних додатних чисел , , виконується нерівність

.

Математика

 

1.      Пусть n – такое натуральное число, что - целое число. Докажите, что и тоже целое число.

 

2.      Дан треугольник АВС. Прямая, проходящая через вершину А , симметрична медиане АМ относительно прямой , содержащей биссектрису угла ВАС, пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точках А и К. Пусть L –середина отрезка АК. Докажите, что .

 

3.      Первый алфавит, который изучают ученики–первоклассники Винницкой физико-математической гимназии №17, содержит всего три буквы ф, м, г. Вычислить количество слов, каждое из которых можно записать 2005-ю буквами этого алфавита и каждое из них содержит четное количество букв г.

4.      Докажите, что для любых вещественных (действительных) положительных чисел a, b, c выполняется неравенство:

 

.

 

 

 

 

 
© Всеукраїнський віртуальний центр олімпіад школярів "ОЛІМП"

© LIKT 1998-2024