XІII Всеукраїнська комплексна олімпіада з математики, фізики
та інформатики
"Турнір чемпіонів"
2006 р.
Математика
1. Нехай 
, 
, 
– додатні дійсні числа такі, що 
. Доведіть, що
.
2. Знайти усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння
.
3. Нехай 
– рівнобедрений трикутник, в якому 
. Нехай
– точка на основі 
така, що 
. Відмітимо на відрізку
таку точку 
, що 
. Доведіть, що 
.
4. Знайти всі функції f : R → R такі, що рівність
виконується для всіх дійсних 
та 
.
5. Петро з’їдає макітру вареників на хвилин довше, ніж він це робить
разом з Юрієм. Юрій з’їдає таку ж макітру вареників на хвилин
довше, ніж він це зробив би разом з Петром. За скільки хвилин
з’їдають таку ж макітру вареників Петро і Юрій разом.
Математика – юніорська ліга
1. Доведіть, що якщо сума 
ділиться на 3 та 
та 
– цілі, то та діляться на 3.
2. Для а > в > с довести нерівність
3. У трикутнику АВС проведені бісектриса АК, медіана ВL І висота СМ. Трикутник КМL рівносторонній. Доведіть, що і трикутник АВС рівносторонній.
4. Чи можна шахову дошку розміром 10 x 10 закласти плитками розміром 1 x 4?
5. На колі стоїть 30 чисел, кожне з яких дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять після нього за годинниковою стрілкою. Відомо, що сума всіх чисел дорівнює 1. Знайти ці числа.